伝達関数とは

伝達関数とは、信号処理や制御工学において重要な概念の一つです。物理系やシステムの性質を表すことができ、その数式的な表現を伝達関数と呼びます。ここでは、伝達関数の基本的な概念やその応用について解説します。

伝達関数は、入力信号と出力信号の間の関係を表します。具体的には、入力信号をx(t)、出力信号をy(t)とすると、システムによって引き起こされた変換を表す関数 H によってy(t)を次のように表すことができます。

y(t) = H[x(t)]

このとき、Hを伝達関数と呼びます。伝達関数は、入力信号と出力信号の周波数特性を表すことができ、システムの安定性や応答特性などを分析するために用いられます。

伝達関数の具体的な表現方法は、システムの種類や性質によって異なります。例えば、連続時間システムにおいては、微分方程式をラプラス変換して伝達関数を求める方法が一般的です。たとえば、以下の微分方程式を考えます。

y”(t) + 2y'(t) + 3y(t) = 2x(t)

この微分方程式をラプラス変換すると、次のような式が得られます。

Y(s) = H(s)X(s)

ただし、Y(s)とX(s)はそれぞれ、y(t)とx(t)のラプラス変換です。また、H(s)は伝達関数であり、次のように表されます。

H(s) = 2 / (s^2 + 2s + 3)

このようにして、微分方程式から伝達関数を求めることができます。伝達関数を用いることで、このシステムの周波数特性や応答特性を分析することができます。

一方、離散時間システムにおいては、差分方程式をz変換して伝達関数を求める方法が一般的です。

伝達関数は、制御工学や信号処理の分野で広く利用されています。例えば、伝達関数を用いたフィルタ設計や、制御システムの設計・解析に利用されます。また、音響技術や電気通信技術においても、伝達関数が用いられます。

伝達関数は、物理系やシステムの性質を数学的に表現するための重要なツールです。そのため、伝達関数を理解することは、制御工学や信号処理をはじめとする技術分野において重要なスキルとなります。